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title: 欧拉余数定理
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date: '2024-01-05'
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math: true
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categories:
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- 奥数
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- 余数
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tags:
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- 余数定理
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- 欧拉定理
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- 素数
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format: hugo-md
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# 欧拉余数定理
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欧拉余数定理是数论中的一个基本结果，它是费马小定理的推广。其陈述如下：
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对于任意正整数 $a$ 和与 $a$ 互质的正整数 $n$，欧拉余数定理表述为：
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$$
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a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}
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$$
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其中，$\phi(n)$ 是欧拉函数，表示小于或等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。
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特别地，当 $n$ 是素数时，欧拉余数定理就变成了费马小定理：
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$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$
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其中，$p$ 是素数。
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欧拉余数定理在各个领域有着广泛的应用，包括密码学，在 RSA 加密算法中有着显著的用途。
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