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content/math/欧拉余数定理.qmd

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+title: "欧拉余数定理"
+date: "2024-01-05"
+math: true
+categories: 
+  - 奥数
+  - 余数
+tags: 
+  - 余数定理
+  - 欧拉定理
+  - 素数
+format: hugo-md
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+# 欧拉余数定理
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+欧拉余数定理是数论中的一个基本结果，它是费马小定理的推广。其陈述如下：
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+对于任意正整数 $a$ 和与 $a$ 互质的正整数 $n$，欧拉余数定理表述为：
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+$$
+a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}
+$$
+
+其中，$\phi(n)$ 是欧拉函数，表示小于或等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。
+
+特别地，当 $n$ 是素数时，欧拉余数定理就变成了费马小定理：
+
+$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$
+
+其中，$p$ 是素数。
+
+欧拉余数定理在各个领域有着广泛的应用，包括密码学，在 RSA 加密算法中有着显著的用途。
+